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Régimes d'intérêt simple et composés


La notation \(=C_t\) est ici utilisée pour désigner la fonction \(C\) de \(t\), soit ici «le capital en fonction du nombre d'années», qu'on écrit généralement \(C(t)\). Les taux d'intérêt nominal (\(i\)) et réel (\(j\)) sont exprimés habituellement en pourcentages et sont, par convention, annuels, c'est-à-dire relatifs à une période d'un an. On parlera de «capitalisation» pour signifier qu'un intérêt vient s'ajouter au capital (montant placé ou emprunté). Ainsi, lorsque un intérêt est capitalisé deux fois par an (\(t=2\)), le capital augmente à tous les six mois.


Formules à retenir

Soient \(t\) le nombre d'années écoulées, \(C_t\) le capital après \(t\) années, \(C_0\) le capital initial, \(i\) le taux d'intérêt nominal et \(n\) le nombre de capitalisations par année, alors, on a, pour chaque type de régime, une formule pour \(C\) en fonction de \(t\): $$ \text{Intérêt simple: } C_t=C_0 \times (1+t \times i)\\ \text{Intérêt composé: } C_t=C_0 \times (1+i \div n)^{nt}\\ $$ Soit \(j\) le taux d'intérêt réel d'un placement ou emprunt en régime d'intérêt composé, alors on a une formule pour \(j\) en fonction du taux nominal \(i\) et du nombre de capitalisations par année \(n\): $$ j = (1 + i \div n)^{n} - 1 $$


Régime d'intérêt simple

Dans ce cas, l'intérêt qui se rajoute à chaque année est toujours égal au taux d'intérêt \(i\) annuel multiplié par le montant initial \(C_0\). Au bout de \(t+1\) années, on a $$ C_{t+1} = C_t + iC_0 $$ Ce mode de croissance du capital suit un modèle linéaire (représenté par une droite). Le capital \(C\) en fonction du temps \(t\) s'écrit alors comme suit: $$ C_t = C_0 (1+t\times i) $$

Exemples

Pour un capital initial de \(1000\$\) et un taux d'intérêt de \(12\%\), on a $$ C_t = 1000 (1+0,12t)\\ \text{Au bout d'un an: } C_1 = 1120$ \\ \text{Au bout de deux ans: } C_2 = 1240$ $$ Au bout de combien de temps, avec un tel régime, aurons-nous un capital de \(1500$\)? Il faut trouver \(t\) dans l'équation suivante: $$ 1500 = C_t = 1000 (1+0,12t)\\ 1,5 = 1+0,12t \\ 0,5 = 0,12t \\ t = 4,166667 =4+\frac{2}{12}\\ t = 4 \text{ ans et } 2 \text{ mois} $$ Si nous avons, au bout de \(3\) ans, un capital de \(2000\$\), dans un régime d'intérêt simple au taux d'intérêt de \(20\%\), quel était la valeur du capital initial? Il faut trouver \(C_0\) dans l'équation suivante: $$ 2000 = C_3 = C_0 (1+ 3 \times 20\%)= C_0 (1+ 3 \times 0,2) \\ 2000 = C_0 (1+0,6) = 1,6 C_0 \\ C_0 = 2000 \div 1,6 = 1250 \\ C_0 = 1250\$ $$


Régime d'intérêt composé
(capitalisé annuellement)

Dans le cas du régime d'intérêt composé, l'intérêt est égal au taux d'intérêt annuel, multiplié par le montant actuel \(C_t\), qui est la somme du montant initial et de l'intérêt accumulé au bout de \(t\) années. Au bout de \(t+1\) années, on a $$ C_{t+1} = C_t + iC_t $$ Ce mode de croissance du capital suit un modèle exponentiel (représenté par une courbe). Les intérêts augmentent toujours de fois en fois et le capital croît ainsi plus rapidement que dans un régime en intérêt simple avec le même taux d'intérêt annuel. Le capital \(C\) en fonction du temps \(t\) s'écrit alors comme suit: $$ C_t = C_0 \times (1 + i)^t $$

Exemples

Pour un capital initial de \(1000\$\), un taux nominal de \(12\%\) et une capitalisation à chaque année, on a $$ C_t = 1000 (1,12)^{t} \\ \text{Au bout d'un an: } C_1 = 1120$ \\ \text{Au bout de deux ans: } C_2 = 1254,40$ $$ Au bout de combien de temps, avec un tel régime, aurons-nous un capital de \(1762,34$\)? Il faut trouver \(t\) dans l'équation suivante: $$ 1762,34 = C_t = 1000 (1,12)^t\\ 1,76234 = (1,12)^t \\ \log_{1,12}(1,76234) = t \\ t = 5 \\ t = 5 \text{ ans} $$ Si nous avons, au bout de \(3\) ans, un capital de \(2000\$\), dans un régime d'intérêt composé capitalisé annuellement au taux d'intérêt de \(20\%\), quel était la valeur du capital initial? Il faut trouver \(C_0\) dans l'équation suivante: $$ 2000 = C_3 = C_0 (1+20\%)^3= C_0 (1+ 0,2)^3 \\ 2000 = C_0 (1,2)^3 = 1,728 C_0 \\ C_0 = 2000 \div 1,728 = 1157,41 \\ C_0 = 1157,41\$ $$


Régime d'intérêt composé
(capitalisé \(n\) fois par année)

Le taux d'intérêt annuel \(i\) est appelé «taux d'intérêt nominal», car il se peut qu'il soit le taux par lequel on «nomme» un régime d'intérêt, mais dans lequel le taux d'intérêt réel est différent! C'est ce qui arrive quand l'intérêt est capitalisé plusieurs fois par année: au lieu de recevoir un intérêt à la fin de l'année selon le taux nominal \(=i\), on reçoit, \(n\) fois par année, un intérêt selon un taux \(n\) fois moindre, c'est-à-dire égal à \(i/n\). Au bout de \(t+\frac{1}{n}\) année, on a $$ C_{t+1/n} = C_t + (i/n)C_t $$ Avec une capitalisation non-nécessairement annuelle (\(n\ne 1\) ou \(n=1\)), le capital \(C\) en fonction du temps \(t\) prend la forme suivante: $$ C_t = C_0 \times (1 + i/n)^{nt} $$ Ce mode de croissance du capital suit encore un modèle exponentiel, mais le capital s'accroît plus rapidement à mesure qu'on augmente le nombre de capitalisations par année. Notez qu'on peut aussi bien utiliser la formule ci-haut avec des valeurs de \(n\) plus petites que \(1\). Un intérêt capitalisé une fois tous les deux ans, par exemple, se traduit par une fréquence d'«une demi-fois par année»: \(n=0,5\).

Exemples

Pour un capital initial de \(1000\$\), un taux nominal de \(12\%\) et une capitalisation \(4\) fois par année, on a $$ C_t = 1000 (1,03)^{4t} \\ \text{Au bout de trois mois: } C_{0,25} = 1030$ \\ \text{Au bout de six mois: } C_{0,5} = 1060,90$ \\ \text{Au bout d'un an: } C_1 = 1125,51$ \\ \text{Au bout de deux ans: } C_2 = 1266,77$ \\ $$ Au bout de combien de temps, avec un tel régime, aurons-nous un capital de \(1702,43$\)? Il faut trouver \(t\) dans l'équation suivante: $$ 1702,43 = C_t = 1000 (1,03)^{4t} \\ 1,70243 = (1,03)^{4t} \\ \log_{1,03}(1,70243) = 4t \\ 4t = 18 \\ t = 4,5 = 4+\frac{6}{12}\\ t = 4 \text{ ans et } 6 \text{ mois} $$ Si nous avons, au bout de \(3\) ans, un capital de \(2000\$\), dans un régime d'intérêt composé capitalisé \(2\) fois par année au taux d'intérêt nominal de \(20\%\), quel était la valeur du capital initial? Il faut trouver \(C_0\) dans l'équation suivante: $$ 2000 = C_3 = C_0 (1+ 20\% \div 2)^{2 \times 3}= C_0 (1+ 0,2\div 2)^{6} \\ 2000 = C_0 (1+0,1)^6 = C_0 (1,1)^6 = 1,7716 C_0 \\ C_0 = 2000 \div 1,7716 = 1128,95 \\ C_0 = 1128,95\$ $$

Taux d'intérêt annuel réel

Le taux réel \(j\) d'un régime d'intérêt composé capitalisé \(n\) fois par année, dont le taux nominal est égal à \(i\), se calcule avec la formule suivante: $$ j = (1 + i/n)^{n} - 1 \\ $$ On a alors l'égalité suivante: $$ C_t = C_0 \times (1 + i/n)^{nt} = C_0 \times (1+j)^t $$

Exemples

Dans l'avant-dernier exemple ci-haut, avec un taux d'intérêt nominal \(i\) de \(12\%\) et quatre capitalisations par année (\(n=4\)), on se retrouve un taux réel d'environ \(12,55\%\). C'est-à-dire que la croissance du capital selon notre régime \(C_t\) suit le même modèle qu'un régime \(\overline{C}_t\) d'intérêt composé capitalisé une seule fois par année (\(n=1\)), mais muni d'un taux d'intérêt nominal \(i\) de \(12,55\%\). Voici le calcul de \(j\) à partir de la valeur de \(C_1\) calculée dans l'avant-dernier exemple: $$ C_t = 1000 (1,03)^{4t} = 1000 (1+j)^t = \overline{C}_t\\ C_1 = 1125,51 = 1000 (1+j)^{1}= \overline{C}_1 \\ 1,12551 = 1 + j \\ j = 0,12551 \approx 12,55\% $$ Pour un taux nominal \(i\) de \(20\%\) et deux capitalisations par année (\(n=2\)), le taux réel \(j\) est de \(21\%\). En utilisant la formule de \(j\) en fonction de \(i\) et \(n\), on a $$ j = (1+20\% \div 2)^{2}-1 = (1+0,2\div 2)^{2}-1 \\ j = (1+0,1)^{2}-1=(1,1)^{2}-1 \\ j = 1,21-1 \\ j = 0,21 = 21\% $$

Dans le cas \(n=1\), le taux réel est égal au taux nominal: \(j=i\). Lorsque \(n>1\), on a toujours un taux réel supérieur au taux nominal: \(j\gt i\). Lorsque \(n<1\), on a toujours un taux réel inférieur au taux nominal: \(j\lt i\). Avec un taux nominal donné, plus la période entre deux capitalisation est courte (plus \(n\) est elevé), plus le taux réel est élevé.

Graphique des fonctions \(C_t\)

Voici un graphique qui permet de comparer la croissance du capital selon trois régimes. Pour un taux d'intérêt fixé, on a, du moins avantageux au plus avatangeux: le régime d'intérêt simple (droite en pointillés vert), le régime d'intérêt composé capitalisé annuellement (courbe en pointillé bleu) et enfin le régime d'intérêt capitalisé \(n\) fois par annnée (courbe pleine mauve). Normalement, on calcule le capital selon les périodes de capitalisation, mais le graphique ici présente le capital comme une fonction continue. Vous pouvez changer en haut les valeurs du taux d'intérêt \(i\) et du nombre de capitalisations par année \(n\); suivant les axes, vous pouvez changer les valeurs du capital initial \(C_0\) et du nombre d'années écoulées \(t\). On remarque qu'au bout d'un an, le régime d'intérêt simple et le régime d'intérêt composé capitalisé annuellement rapportent le même intérêt.

C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com

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